第六章 流数术与无穷级数(6)-《巴塞丽莎的复国日记》


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    切线只交曲线于一点。

    两点才能确定一条直线。

    然而,通过一个点,切线却只有一条。

    这三句话分开来看都是完全没有问题的,可连在一起,却让艾拉感到逻辑混乱。通过一个点可以做无数条直线,然而过这个点的切线却是唯一的,这是不是有些问题?

    经过一些思考后,    艾拉想明白了其中的缘由:无限中的每个个体性质都有差异,而有‘切线’这个性质的只有一条。

    也就是说,切线是无限之中的唯一。

    可问题是,没有两个点,人们是无法做出一条确定的直线的。而若用排除法,把无穷多的可能全部排除,    逆向找出其中的唯一,听起来好像也只有神明才能做到。

    “我知道切线就在那里,    我也能理解它的一切性质,可我却无法将它作出来?”

    这让艾拉想到了这一整个自然界——人们能理解水的性质、能理解空气的性质、能理解土壤的性质,可是人们却无法创造水、创造空气、创造土壤。

    这种无力感让艾拉开始觉得亚伯拉罕教会的教义是正确的——神将世界的一切安排妥当,而人只能旁观,无法模仿。

    “不行,承认这一点的话,就绝对学不会毕达哥拉斯学派的魔法了!”

    艾拉拍了拍自己的脸颊。虽然她现在已经是灵体的状态,但这个动作本身能让她振作一些。

    “艾拉,不要害怕无限!”她这么给自己鼓着劲。“既然两点才能确定一条直线,那就找出两个点就行了嘛!”

    真在直线上找两点的话,那作出的线就是割线而不是切线了。但艾拉知道,随着这两个点不断的接近,作出的割线就会不断接近于切线。

    有了之前求曲线面积的经验,艾拉很快就想到了一个类似的取巧方法——让这两个点的距离无限接近、而又不等于零。这个数字必须足够小,不然做出的线就和切线有偏差;同时它也绝对不能等于零,不然就只剩一个点,无法确定直线了。

    艾拉如此表述这两个点:(x,y)、(x+dx,y+dy),    其中,dx和dy就表示那个无限接近于零、而又不等于零的数。只要通过这两个点算出切线的斜率,就能找到这一条切线了。

    将这些数字带入y=x2这条曲线后,式子非常简单,完全不像求曲线面积时要涉及到那种一直相加到无限的无穷级数。

    艾拉试着把函数改成y=x3、y=x4、y=x5,计算的难度都没有发生多大的变化。
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